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06 Sistemas lineales homogéneos (Muy, muy importante)

■ Un sistema lineal de ecuaciones se dice "homogéneo" (SLH) si todos los términos independientes son nulos. En tal caso, la matriz de los coeficientes "A" y la matriz ampliada sólo se diferencian en un columna de ceros, por lo que SIEMPRE tienen el mismo rango; en consecuencia, según el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema SIEMPRE es compatible: al menos tiene la llamada "solución trivial" (0;0;.... 0).
■ Si rg(A) = nº de incógnitas, el sistema sólo tiene la solución trivial.
■ Si rg(A) < nº de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones.
■ Toda combinación lineal de soluciones de un SLH es solución del SLH.
■ Si un sistema lineal no homogéneo (SLNH) de ecuaciones tiene infinitas soluciones, no es cierto que toda combinación lineal de soluciones del sistema sea solución del sistema.

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